8 úloh ze školní matematické olympiády, které není tak snadné vyřešit

5 úloh z matematické olympiády, které nezvládne každý dospělý.

Pokuste se vyřešit problémy ze školní soutěžní hry „Klokánek“ bez jakýchkoliv nápověd.

1. O vázách s jablky a broskvemi

60 jablek a 60 broskví bylo umístěno do váz tak, že všechny vázy obsahovaly stejný počet jablek, ale jakékoli dvě vázy obsahovaly různý počet broskví. Jaký největší počet váz by bylo možné použít?

60 jablek je rovnoměrně rozloženo ve všech vázách. To znamená, že možný počet váz je třeba vybrat z čísel, kterými je 60 beze zbytku dělitelné.

Je také známo, že každá váza by měla obsahovat jiný počet broskví. Pokusme se uspořádat ovoce v každé váze a pochopit, kdy jich bude více než 60. Umístěte 1 broskev do první vázy, 2 broskve do druhé, 3 broskve do třetí a tak dále: 1 + 2 + 3. + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66. To převyšuje počet broskví, které máme, takže je nebude možné naaranžovat do 11 váz.

To znamená, že musíme vzít méně výrazů (a méně váz): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. To je méně než 60. To znamená, že můžeme přidat chybějící číslo broskví v nějaké váze: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 15 = 60. Vše sedí. Odpověď je 10 váz.

Zobrazit odpověďSkrýt odpověď

2. O porcích zmrzliny

Zatímco Cheburashka sní dvě porce zmrzliny, Medvídek Pú zvládne sníst pět stejných porcí, a zatímco Medvídek Pú tři porce, Carlson jich sní sedm. Cheburashka a Carlson společně snědli 82 porcí. Kolik porcí za tuto dobu snědl Medvídek Pú?

Věnujme pozornost Medvídkovi Pú: právě s ním souvisí rychlost pojídání zmrzliny všemi hrdiny. Najdeme nejmenší společný násobek čísel 3 (přes které Medvídek Pú koreluje s Carlsonem) a 5 (skrze který Medvídek Pú koreluje s Cheburashkou) – 15.

To znamená, že když Vinnie sní 15 porcí zmrzliny, Cheburashka sní 2 × 3 = 6 porcí a Carlson sní 7 × 5 = 35 porcí. Zatímco Vinnie sní 15 porcí zmrzliny, Cheburashka a Carlson společně zničí 6 + 35 = 41 porcí. Sní 82 porcí zmrzliny dvakrát tak dlouho, protože 82 ÷ 41 = 2. To znamená, že Medvídek Pú stihne za stejnou dobu sníst 2x tolik porcí: 15 × 2 = 30.

Zobrazit odpověďSkrýt odpověď

3. O australské zoo

V australské zoo je 35 % všech klokanů šedých a 13 % všech zvířat v zoo jsou klokani, ale ne šedí. Kolik procent všech zvířat v zoo tvoří klokani?

Nechť n je celkový počet zvířat v zoo, c počet klokanů šedých a k počet všech klokanů.

35 % z celkového počtu klokanů je šedých. Zapišme si to: 0,35k = c.
13 % všech zvířat nejsou šedí klokani. Zapišme si to také: 0,13n = k − 0,35k.

Zjednodušme výsledný výraz: 0,13n = 0,65k; n = 5k; k = 1/5 n = 20/100 n = 20 %. To znamená, že klokani tvoří 20 % všech zvířat v zoo.

Zobrazit odpověďSkrýt odpověď

4. O prolhaných trpaslících

V místnosti je shromážděno několik gnómů, kteří vždy lžou. Všechny jsou různé výšky a různé hmotnosti. Každý z nich řekl: „Všichni ostatní jsou lehčí než já a někteří z nich jsou menší než já.“ Které z tvrzení A – D je nutně pravdivé?

A. Nejtěžší trpaslík je nejkratší
B. Nejlehčí trpaslík je nejkratší
B. Nejtěžší trpaslík je nejvyšší
D. Nejlehčí trpaslík je nejvyšší
D. Žádný z výroků A – D nesmí být pravdivý.

Pro nejtěžšího trpaslíka platí věta „Všichni ostatní jsou lehčí než já“ a její pokračování – „. a někteří z nich jsou nižší než já“ – musí být lež. To znamená, že všichni ostatní gnómové jsou vyšší než on. „Nejtěžší trpaslík je nejkratší“ je pravdivé tvrzení. Pro všechny ostatní gnómy je fráze „Všichni ostatní jsou lehčí než já“ již lež, takže o nich nelze nic říci.

Zobrazit odpověďSkrýt odpověď

5. O vynálezu Šíleného kloboučníka

Šílený kloboučník vyrobil zvláštní hodiny. Minutová ručka je nehybná a ciferník a hodinová ručka se otáčejí tak, aby hodinky vždy ukazovaly správný čas. Kolik otáček udělá hodinová ručička takových hodinek za den?

Minutová ručička je nehybná. Aby ukazoval správný čas, musí se ciferník pohybovat v opačném směru (proti směru hodinových ručiček) stejnou rychlostí jako minutová ručka v běžných hodinkách, to znamená udělat celou otáčku za 1 hodinu a 24 otáček za hodinu. den.

Hodinová ručička by také měla ukazovat správný čas. Spolu s číselníkem udělá jednu otáčku za hodinu, tedy 24 otáček za den. Jde také svým obvyklým směrem – jedna celá otáčka za 12 hodin a dvě celé otáčky za 24 hodin ve směru hodinových ručiček. Proto nakonec udělá 24 − 2 = 22 otáček za den.

Zobrazit odpověďSkrýt odpověď

Pro výběr byly použity úlohy z mezinárodní matematické soutěže – hry „Klokánek“. 2018 и 2019 let.

Jak se vám líbí úkoly? Kolik jich bylo vyřešeno bez jakýchkoli nápověd? Podělte se v komentářích!

Nestandardní úlohy pro matematickou olympiádu v 5.-6.
Úkoly na olympiádu z algebry (5., 6. ročník) na dané téma

Výběr nestandardních úloh s odpověďmi je nabízen pro konání olympiády v matematice v 5.–6.

Stáhnutí:

Příloha	velikost
nest_zadachi.doc	39 KB

Náhled:

Úlohy k matematické olympiádě v 5.–6.

(Yamalo-Nenets Autonomous Okrug, Labytnangi, Městské vzdělávací zařízení SOSHUIP č. 3, Tuchak A.Z.)

1. V trojciferném sudém čísle je součet číslic 3. Je známo, že všechny tři číslice jsou různé a poslední číslice čísla je větší než 0. Najděte toto číslo.

1) 102 2) 300 3) 201 4) 120

2. Několik veverek dostalo 60 ořechů, takže každý dostal alespoň 1 ořech a žádné dvě veverky neměly stejný podíl ořechů. Jaké největší množství veverek mohli ořechy dostat?

1) 60 2) 30 3)10 4) není vyžadována žádná možnost

3. Byly zakoupeny ruské, německé, francouzské a anglické známky. Náklady na nákup bez ruské známky jsou 40 rublů, bez německé známky – 45 rublů, bez francouzské známky – 44 rublů, bez anglické známky – 27 rublů. Kolik stojí ruská známka?

1) 15 2) 30 3) 12 4) 24

4. Alyosha, Borya, Valera hrají míč. Jedno dítě trefilo míč a rozbilo okno. Na otázku, kdo za to může, odpověděli takto:

Alyosha: Trefil jsem míč.

Borya: Nebyla to Valera, kdo rozbil okno.

Valera: Byl to Aljoša, kdo rozbil okno.

Jedno z dětí vždy říká pravdu, druhé vždy lže a třetí může buď říkat pravdu, nebo lhát. Kdo rozbil okno?

1) Borja 2) Aljoša 3) Valera

5. Yasha, Nina, Katya, Petya se narodily 15. prosince, 7. dubna, 15. července, 28. července. Petya a Katya se narodily ve stejném měsíci a Nina a Petya se narodily ve stejný den v různých měsících. Kdy se narodila Yasha?

1) 28. července 2) 15. prosince 3) 7. dubna 4) 15. července

6. Hmotnost krabice pomerančů je 37 kg. Po prodeji poloviny všech pomerančů byla krabice položena na váhu. Váha ukazovala 21 kg. Najděte hmotnost prázdné krabice.

1) 5 kg 2) 7 kg 3) 10 kg 4) žádná požadovaná možnost

7. Kluci si házejí míčem. Péťa vždy hází míč Miťovi, Vasja Tolji, Kolja Vasjovi, Tolja Sashovi, Miťa Koljovi, Lesha Petyovi, Sasha Leshovi. Kolja začíná. Kdo bude mít míč po čtyřicátém hodu?

1) Mitya 2) Tolya 3) Petya 4) není vyžadována žádná možnost

8. Dva obdélníky mají stejnou šířku. Délka prvního je 12cm, jeho obvod je 30cm. Najděte délku druhého obdélníku, pokud je jeho obvod 42 cm.

1) 12 2) 16 3) 10 4) 18

9. Odškrtněte pět číslic z čísla 4000538 tak, aby zbývající číslo bylo největší.

1) 538 2) 4000 3) 85 4) 58

10. Najděte součet: 1+2+3+…..+111

1) 60000 2) 5050 3) 5161 4) není vyžadována žádná možnost

11. Počet chlapců, kteří ve třídě vyřešili obtížný problém, se rovná počtu dívek, které jej nevyřešily. Kdo je ve třídě více: ti, kteří problém vyřešili, nebo dívky?

1) dívky 2) chlapci 3) stejně 4) ti, kteří problém vyřešili

12. Šálek s podšálkem stojí dohromady 250 rublů a 4 šálky a 3 podšálky stojí 887 rublů. Najděte cenu šálku a cenu podšálku.

1) 125 rublů každý 2) 100 rublový šálek, 150 rublů podšálek

3) 113 – podšálek, 137 – šálek 4) není vyžadována žádná možnost

13. Uspořádejte závorky všemi možnými způsoby, vyberte nejmenší a největší výsledky: 100-20*3+2.

1) 400 a 0 2) 570 a 0 3) 242 a 0 4) není vyžadována žádná možnost

14. Štěnice je 6krát těžší než kočka, myš je 20krát lehčí než kočka, vodnice je 720krát těžší než myš. Kolikrát je tuřín těžší než ploštice?

A) 300 B) 30 C) 9 D) 6 E) Štěnice je těžší než tuřín.

15. Kolik je trojciferných čísel, jejichž číslice jsou seřazeny vzestupně?

) 30 2) 300 3) 328 4) není vyžadována žádná možnost